Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ về tích phân hàm ẩn và cung cấp cho bạn các phương pháp giải chi tiết cho các dạng bài liên quan. Mong rằng thông qua bài viết này, bạn sẽ tự tin hơn khi học về nội dung này.
Tích Phân Hàm Ẩn Là Gì?
Tích phân hàm ẩn là dạng tích phân trong đó hàm số bị ẩn đi. Đề bài chỉ hiển thị các điều kiện sẵn có mà không cho bạn biết hàm số cụ thể cần tính. Để giải những bài toán này, bạn cần tư duy một cách logic trong quá trình giải toán và nắm vững những phương pháp giải cơ bản.
Các Dạng Tích Phân Hàm Ẩn và Cách Giải
Dạng 1: Sử dụng quy tắc và đạo hàm của hàm hợp
Quy tắc 1:
Nếu u = u(x) và v = v(x), thì (uv)’ = u’v + uv’
Nếu [f(x).g(x)]’ = h(x), thì f(x).g(x) = ∫h(x)dx.
Ví dụ:
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0; +∞) và thỏa mãn điều kiện f(1) = 3, x(4 – f’(x)) = f(x) – 1 với mọi x > 0. Hãy tính giá trị của f(2).
Bài giải:
x(4 – f’(x)) = f(x) – 1 ⟹ xf’(x) + f(x) = 4x + 1
⟹ [xf(x)]’ = 4x + 1
⟹ xf(x) = ∫(4x + 1)dx
⟹ xf(x) = 2×2 + x + C
Ta có: f(1) = 3 ⟹ C = 0
⟹ f(x) = 2x+1
⟹ f(2) = 5
Quy tắc 2:
Ví dụ:
Bài giải:
Quy tắc 3:
Ví dụ:
Bài giải:
Quy tắc 4:
Nếu u = u(x), thì thì (eu)’ = u’.eu
Nếu (ef(x))’ = g(x), thì ef(x) = ∫g(x)dx
Ví dụ:
Bài giải:
Quy tắc 5:
Ví dụ:
Bài giải:
Dạng 2: Sử dụng định nghĩa của nguyên hàm, tích phân
Dạng toán này của tích phân hàm ẩn xuất phát từ tính chất sau:
∫f’(x)dx = f(x) + C
Trong công thức này, bạn đã biết f’(x) (hàm số được ẩn trong f’(x)) và đã biết một vài giá trị của f(x). Bài toán yêu cầu bạn tính một số giá trị của f(x).
Để giải dạng toán tích phân hàm ẩn này, bạn có thể áp dụng một trong 2 cách sau:
- Cách 1: Sử dụng định nghĩa, tính chất của nguyên hàm để xác định f(x)+C. Sau đó, sử dụng giá trị đã biết của f(x) để xác định hệ số C, và tính giá trị cần tìm.
- Cách 2: Nếu hàm số đã cho có tích phân trên [a;b], sử dụng công thức tích phân để tính giá trị.
Ví dụ:
Cho hàm số f(x) xác định trên R và có đạo hàm thỏa mãn f’(x) = 2x + 3, f(1) = 0. Hãy tính f(2).
Bài giải:
Cách 1: Dùng định nghĩa nguyên hàm
Ta có: f(x) = ∫f’(x)dx = ∫(2x + 3)dx = x2 + 3x + C
Mà f(1) = 0 nên C = -4
=> f(x) = x2 + 3x – 4
Vậy f(2) = 6
Cách 2: Dùng định nghĩa tích phân
Dạng 3: Phương pháp đổi biến
Nếu trong bài toán tích phân hàm ẩn có cận khác với tích phân trong đề bài, bạn có thể áp dụng phương pháp đổi biến số để giải.
Ví dụ:
Bài giải:
Dạng 4: Phương pháp tích phân từng phần
Nếu bài toán chứa tích phân hàm ẩn không thể giải bằng 3 phương pháp trên và trong tích phân có 2 hàm số xuất hiện với cận không đổi, bạn cần áp dụng phương pháp tích phân từng phần.
Ví dụ:
Bài giải:
Dạng 5: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f'(x)+p(x).f(x)=h(x)
Phương pháp:
Hệ quả 1: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức: f'(x)+f(x)=h(x)
Phương pháp
Hệ quả 2: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f'(x)-f(x)=h(x)
Phương pháp
Tham khảo ngay các khoá học online của LADEC
Bài viết trên đây đã tổng hợp những kiến thức quan trọng về tích phân hàm ẩn và phương pháp giải các dạng bài liên quan. Hãy chú ý học kỹ lý thuyết cũng như các ví dụ để vận dụng giải các bài tập.
Hãy liên hệ ngay với LADEC để được tư vấn nếu bạn có nhu cầu học online nâng cao kiến thức nhé! Chúc bạn thành công trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!