Tập hợp Z là gì?
Tập hợp Z, hay còn được gọi là tập hợp số nguyên, là một tập hợp phổ biến trong toán học. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu chi tiết về định nghĩa của tập hợp Z, các tập hợp con của Z và một số bài tập áp dụng.
Tập hợp Z được định nghĩa một cách đơn giản là tập hợp các số mà không chứa phân số. Tập hợp Z chỉ bao gồm các số nguyên, trong đó các số dương được sắp xếp theo thứ tự tăng dần và được bảo toàn dưới phép cộng.
Tập hợp Z bao gồm số 0, các số tự nhiên dương (1, 2, 3, …) và các số âm (−1, −2, −3, …). Các số nguyên thường được biểu diễn bằng chữ in đậm (Z) hoặc chữ có dấu ngoặc (ℤ). Cụm từ này xuất phát từ tiếng Đức Zahlen, có nghĩa là “số”.
Z là một tập hợp con của tập hợp số hữu tỉ và cũng là tập hợp con của tập số thực. Tương tự như các tập hợp số tự nhiên khác, tập hợp Z cũng là một tập hợp vô hạn.
Kí hiệu tập hợp Z
Biểu tượng Z được sử dụng để biểu diễn các tập hợp khác nhau với ý nghĩa khác nhau. Dưới đây là một số ví dụ:
- Số nguyên dương: Z+
- Số nguyên không âm: Z≥0
- Số nguyên khác không: Z≠0
- Số nguyên theo modulo P: Z mod P
Các kí hiệu tập hợp này có thể khác nhau tùy thuộc vào ngữ cảnh sử dụng. Một số người sử dụng kí hiệu để biểu diễn số nguyên khác 0, trong khi số khác lại sử dụng để biểu diễn các số không âm.
Tính chất của số nguyên
Tương tự như các tập hợp số khác, tập hợp Z đóng với các phép cộng, trừ, nhân và chia. Điều này có nghĩa là tổng và tích của hai số nguyên bất kỳ vẫn là một số nguyên. Tuy nhiên, việc bao gồm cả số âm và số 0 đã khiến tập hợp Z khác biệt so với các số tự nhiên và không đóng với phép chia.
Các số nguyên tạo thành một vành đơn vị và là vành đơn cơ sở nhỏ nhất. Nếu có một phép ánh xạ đơn duy nhất từ các số nguyên.
Tuy nhiên, tập hợp Z không đóng với phép chia vì thương của chúng không phải lúc nào cũng là một số nguyên. Ví dụ, 1 là một số nguyên, 2 cũng là một số nguyên, nhưng phép chia của chúng không tạo thành một số nguyên.
Mối quan hệ giữa số nguyên và số hữu tỉ
Trong toán học, các số nguyên tạo thành một nhóm nhỏ nhất và vành nhỏ nhất, trong đó số tự nhiên là một phần. Lý thuyết đại số thường coi các số nguyên là một phần của số hữu tỉ để phân biệt chúng với các số tự nhiên trong lĩnh vực đại số tổng quát hơn. Trên thực tế, số nguyên cũng là số hữu tỉ và là số nguyên đại số. Dưới đây là một số đặc điểm cơ bản của số nguyên:
- Phép cộng, trừ, nhân và chia giữa các số nguyên đều tạo ra một số nguyên.
- Tập hợp số nguyên không đóng với phép chia vì thương của chúng không phải lúc nào cũng là số nguyên.
- Có sự phân phối và không có ước số của số 0.
- Nếu a, b là hai số nguyên, thì a hoặc b hoặc cả hai có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn.
Thứ tự trong tập hợp Z
Tập hợp Z là một tập hợp không có giới hạn trên hoặc dưới. Thứ tự trong tập hợp Z có thể được hiểu như sau:
- Số dương được coi là lớn hơn 0, số âm được coi là nhỏ hơn 0.
- Số 0 là số trung gian và không dương cũng không âm.
- Dựa trên thứ tự của các số nguyên, chúng ta có hai tính chất:
- Nếu a < b, và b < c, thì a < c.
- Nếu a > b, và b > c, thì a > c.
Do các tính chất trên, chúng ta kết luận rằng Z, với thứ tự đã cho, là một vành có thứ tự.
Bài tập ôn tập về số nguyên
Cùng xem lại một số câu hỏi ôn tập về lý thuyết:
- Lấy ví dụ thực tế trong đó có số âm và giải thích ý nghĩa của số âm đó.
- Tập hợp Z bao gồm những số nào?
- Cho biết trên trục số, hai số đối nhau có đặc điểm gì?
- Tập hợp Z bao gồm hai bộ phận là số tự nhiên và số âm, đúng không?
- Nhắc lại cách so sánh hai số nguyên a và b trên trục số.
Bài tập về tập hợp số nguyên:
Bài 1:
Đề bài:
a) Viết tập hợp N gồm các phần tử là số đối của các phần tử thuộc tập M.
b) Viết tập hợp P gồm các phần tử của tập M và N.
Đáp án:
a) N = {-1, -2, -3, …}
b) P = {0, 1, 2, 3, …}
Bài 2:
Đề bài:
Trong các câu sau, câu nào đúng? Câu nào sai?
a) Mọi số tự nhiên đều là số nguyên.
b) Mọi số nguyên đều là số tự nhiên.
c) Có những số nguyên đồng thời là số tự nhiên.
d) Có những số nguyên không là số tự nhiên.
e) Số đối của 0 là 0, số đối của a là (-a).
g) Khi biểu diễn các số (-5) và (-3) trên trục số thì điểm (-3) ở bên trái điểm (-5).
h) Có những số không là số tự nhiên cũng không là số nguyên.
Đáp án:
Các câu sai: b, g.
Bài 3:
Đề bài:
Trong các câu sau, câu nào đúng? Câu nào sai?
a) Bất kỳ số nguyên dương nào cũng lớn hơn số nguyên âm.
b) Bất kỳ số tự nhiên nào cũng lớn hơn số nguyên âm.
c) Bất kỳ số nguyên dương nào cũng lớn hơn số tự nhiên.
d) Bất kỳ số tự nhiên nào cũng lớn hơn số nguyên dương.
e) Bất kỳ số nguyên âm nào cũng nhỏ hơn 0.
Đáp án:
Các câu sai: d.
Bài 4:
Đề bài:
Sắp xếp các số nguyên sau theo thứ tự tăng dần: 2, 0, -1, -5, -17, 8.
Sắp xếp các số nguyên sau theo thứ tự giảm dần: -103, -2004, 15, 9, -5, 2004.
Đáp án:
a) -17, -5, -1, 0, 2, 8.
b) 2004, 15, 9, -5, -103, -2004.
Bài 5:
Đề bài:
Trong các cách viết sau, cách viết nào đúng?
a) -3 < 0.
b) 5 > -5.
c) -12 > -11.
d) |9| = 9.
e) |-2004| < 2004.
f) |-16| < |-15|.
Đáp án:
Các câu sai: c, e, f.
Bài 6:
Đề bài:
a) Giải phương trình |x – 5| = 3.
b) Giải phương trình |1 – x| = 7.
c) Giải phương trình |2x + 5| = 1.
Hướng dẫn:
a) |x – 5| = 3 nên x – 5 = ± 3.
- x – 5 = 3 ➡ x = 8.
- x – 5 = -3 ➡ x = 2.
b) |1 – x| = 7 nên 1 – x = ± 7.
- 1 – x = 7 ➡ x = -6.
- 1 – x = -7 ➡ x = 8.
c) x = -2, x = 3.
Bài 7:
Đề bài:
a) So sánh 3 và -2.
b) So sánh -5 và -3.
Đáp án:
a) 3 > -2.
b) -5 < -3.
Tài liệu về tập hợp Z
Dưới đây là tổng hợp phần lý thuyết và một số bài tập hay về tập hợp số nguyên. Bạn có thể theo dõi trực tiếp trên website LADEC.
Trên đây là toàn bộ kiến thức về tập hợp Z. Mong rằng bài viết trên có ý nghĩa với bạn và giúp bạn hiểu rõ hơn về số nguyên và cách áp dụng trong các bài toán.