Tiệm Cận Đứng trong đồ thị hàm số là một khái niệm quan trọng trong toán học, giúp chúng ta xác định hành vi của hàm số tại các điểm xác định. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về tiệm cận đứng, cách tìm và giải một số bài tập liên quan.
1. Định nghĩa tiệm cận đứng
Tiệm cận đứng của một đồ thị hàm số y = f(x) được xác định bằng cách ta dựa vào tập xác định D để biết số giới hạn phải tìm. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) là đường thẳng $x = x_{0}$ nếu có ít nhất một trong điều kiện sau thỏa mãn:
- $lim{x rightarrow x{0}^{+}} = pm infty$
- $lim{x rightarrow x{0}^{-}} = pm infty$
2. Cách tìm tiệm cận đứng đồ thị hàm số
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số được thực hiện theo các bước như sau:
Bước 1: Xác định tập xác định D của hàm số.
Bước 2: Xác định điểm hàm số không xác định nhưng có lân cận trái hoặc lân cận phải của điểm đó nằm bên trong tập xác định.
Bước 3: Tính giới hạn một bên của hàm số tại các điểm được xác định ở bước 2 và kết luận.
Ví dụ: Cho hàm số $y = frac{x – 2}{x^{2} – 4}$. Tiệm cận đứng của hàm số là gì?
Giải:
$D = R backslash { pm 2 }$
Ta có $lim{x rightarrow 2^{-}}f(x)=lim{x rightarrow 2^{-}} frac{x – 2}{x^{2} – 4} = lim_{x rightarrow 2^{-}}frac{1}{x+2}=frac{1}{4}$
x = 2 không là tiệm cận đứng
$lim_{x rightarrow -2^{-}} f(x)=frac{x – 2}{x^{2} – 4}=- infty$
$lim_{x rightarrow -2^{-}} f(x)=frac{x – 2}{x^{2} – 4}=+ infty$
$Rightarrow x= – 2$ là tiệm cận đứng
Kết luận: x = -2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
3. Công thức tính nhanh tiệm cận đứng của đồ thị hàm số phân tuyến tính
Tiệm cận đứng của đồ thị phân tuyến tính $y=frac{(ax + b)}{(cx + d)}$ với $(ad – bc neq 0, c neq 0)$ được tính nhanh bằng công thức.
Hàm số phân tuyến tính có một tiệm cận đứng duy nhất là $x=frac{-d}{c}$
Ví dụ: Cho hàm số $y = f(x) = frac{x – 2}{x + 3}$. Tìm tiệm cận đứng theo công thức tính nhanh
Giải:
Hàm số $y = f(x) = frac{x – 2}{x + 3}$ có một đường tiệm cận đứng là $x = frac{-d}{c} = −3$.
Nắm trọn kiến thức toán 12 với khóa PAS THPT của VUIHOC ngay<<<
4. Cách tìm tiệm cận đứng bằng máy tính
Để xác định tiệm cận đứng của hàm số dạng $frac{f(x)}{g(x)}$ bằng máy tính thì ta tìm nghiệm của hàm số g(x) sau đó loại những giá trị cùng là nghiệm hàm số f(x), cụ thể:
Bước 1: Sử dụng SOLVE để giải nghiệm của hàm số. Nếu mẫu số là hàm bậc 2 hoặc 3 thì ta có thể dùng Equation (EQN) để tìm ra nghiệm.
Bước 2: CALC để thử nghiệm tìm được có là nghiệm của tử số hay không.
Bước 3: Những giá trị $x{0}$ là nghiệm của mẫu số nhưng không phải là nghiệm tử số thì đường thẳng $x = x{0}$ là tiệm cận đứng.
Ví dụ: $y=f(x)=frac{2x – 1 – sqrt{x^{2} + x + 3}}{x^{2} – 5x + 6}$. Tìm tiệm cận đứng của f(x) bằng máy tính
Giải:
Tính nghiệm phương trình $x^{2} – 5x + 6=0$
Trên máy tính Casio ta bấm lần lượt Mode → 5 → 3 để chế độ giải phương trình bậc 2.
Lần lượt bấm các giá trị 1 → = → −5 → = → 6 → = → =
$Rightarrow$ 2 nghiệm x = 2 và x = 3
Sau đó nhập tử số vào máy tính Casio
CALC rồi ta thay từng giá trị x = 3 và x = 2
Với x = 2 thì tử số bằng 0 và x = 3 thì tử số khác 0
Kết luận: Vậy đồ thị hàm số có x = 3 là tiệm cận đứng.
5. Cách tìm tiệm cận đứng qua bảng biến thiên
Để xác định được tiệm cận dựa vào bảng biến thiên thì ta cần nắm chắc định nghĩa tiệm cận đứng để phân tích dựa trên một số đặc điểm:
Bước 1: Dựa vào bảng biến thiên để tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Quan sát bảng biến thiên. Tiệm cận đứng là những điểm mà hàm số không xác định.
Bước 3: Kết luận
6. Một số bài tập tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
6.1. Dạng 1: Xác định đường tiệm cận đứng dựa vào định nghĩa
Ta có: Tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = f(x) sẽ là đường thẳng $x = x_{0}$ nếu thỏa mãn các điều kiện:
$lim{x rightarrow x{0}^{+}}f(x)=pm infty$
$lim{x rightarrow x{0}^{-}}f(x)=pm infty$
Ví dụ: Cho đồ thị hàm số sau, hãy tìm tiệm cận đứng của hàm số:
+) $y = frac{2x – 3}{x – 1}$
D = R {1}
$lim_{x rightarrow 1^{+}}frac{2x – 3}{x – 1}=-infty$
$lim_{x rightarrow 1^{-}}frac{2x – 3}{x – 1}=+infty$
Vậy x = 1 là tiệm cận đứng
+) $y = frac{x^{2} – 3x}{x^{2} – 9}$
$lim{x rightarrow 3^{+}}frac{x^{2} – 3x}{x^{2} – 9}=lim{x rightarrow 3^{+}}frac{x(x – 3)}{(x – 3)(x + 3)}=frac{1}{9}$
$lim{x rightarrow 3^{-}}frac{x^{2} – 3x}{x^{2} – 9}=lim{x rightarrow 3^{-}}frac{x(x – 3)}{(x – 3)(x + 3)}=frac{1}{9}$
Kết luận: Vậy đồ thị hàm số y = f(x) không có tiệm cận đứng
6.2. Dạng 2: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số phân thức
$y=frac{(ax + b)}{(cx + d)}$ với $(ad – bc neq 0, c neq 0)$.
$Rightarrow$ Tiệm cận đứng $x=frac{-d}{c}$
Ví dụ: Cho đồ thị hàm số, hãy tìm tiệm cận đứng của đồ thị đó
$y=f(x)=frac{1 – 3x}{x + 2}$
$lim_{x rightarrow (-2)^{+}}frac{1-3x}{x+2}=+infty$
$lim_{x rightarrow (-2)^{-}}frac{1-3x}{x+2}=-infty$
Kết luận: x = -2 là tiệm cận đứng
6.3. Dạng 3: Tìm tham số m để hàm số có tiệm cận đứng
Ví dụ 1: Giá trị của tham số m là bao nhiêu để đồ thị hàm số $y = frac{3x + 1}{m – 2x}$ nhận đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng?
Giải:
Nghiệm của tử số $x = frac{-1}{3}$.
Để đồ thị hàm số có tiệm cận thì $x = frac{-1}{3}$ không là nghiệm của phương trình m − 2x = 0 hay $m – 2.(frac{-1}{3}) neq 0$
$Rightarrow m neq frac{-2}{3}$
Đồ thị hàm số có $x = frac{m}{2}$ là tiệm cận đứng
Để đồ thị hàm số nhận x = 1 làm tiệm cận đứng thì $frac{m}{2} = 1$
$Rightarrow m = 2$
Vậy giá trị tham số là m = 2
Ví dụ 2: Cho hàm số $f(x) = y = frac{mx + 9}{x + m}$ có đồ thị (C). Chọn khẳng định đúng sau đây?
A. m = 3 thì đồ thị không có tiệm cận đứng.
B. Đồ thị không có đường tiệm cận đứng khi m = -3.
C. Khi m ± 3 thì đồ thị có tiệm cận ngang y = m, tiệm cận đứng x = -m
D. Khi m = 0 thì đồ thị không có tiệm cận ngang.
Giải:
Xét: mx + 9 = 0.
Với x = −m ta có: $-m^{2} + 9 = 0 Leftrightarrow m = pm 3$
Ta thấy hàm số không có tiệm cận đứng và ngang với m = ±3.
Khi m = ±3 hàm số có tiệm cận đứng x = m hoặc x = −m và tiệm cận ngang y = m
Đăng ký ngay để nắm trọn bí kíp đạt 9+ môn toán tốt nghiệp THPT Quốc Gia
Hy vọng rằng qua bài viết trên đã giúp bạn hiểu rõ hơn về tiệm cận đứng trong đồ thị hàm số. Để tiếp cận và ôn luyện nhiều kiến thức toán học khác, hãy truy cập ngay nền tảng LADEC để ôn tập hiệu quả và đạt kết quả cao. Chúc các bạn thành công!