Giới thiệu chung về nhân liên hợp
Phương pháp nhân liên hợp là một trong những phương pháp hiệu quả để giải phương trình và bất phương trình chứa căn. Khi chúng ta nhận thấy một nghiệm đẹp của phương trình hoặc bất phương trình đã cho, phương pháp nhân liên hợp sẽ giúp chúng ta tìm ra nhân tử phân tích và giải quyết bài toán một cách dễ dàng.
1. Ý tưởng của phương pháp nhân liên hợp
Ý tưởng chính của phương pháp nhân liên hợp là phân tích biểu thức chứa căn thành nhân tử. Đối với đa thức, việc phân tích thành nhân tử thường dễ dàng hơn so với biểu thức chứa căn. Do đó, chúng ta sẽ sử dụng cách này để khử căn thức bằng cách nhân chia với biểu thức liên hợp.
2. Các bước giải phương trình, bất phương trình bằng nhân liên hợp
Có hai bước chính để giải phương trình hoặc bất phương trình bằng phương pháp nhân liên hợp:
Bước 1: Nhận định về nghiệm của phương trình hoặc bất phương trình, thông qua việc nhẩm hoặc sử dụng máy tính để tìm nghiệm. Giả sử nghiệm của phương trình là x0.
Bước 2: Phân tích hoặc biến đổi biểu thức ban đầu thành nhân tử bằng cách nhân chia với biểu thức liên hợp, sao cho ta thu được biểu thức chứa nhân tử (x – x0).
Ví dụ giải phương trình nhân liên hợp
Ví dụ 1: Giải phương trình
Hướng dẫn: Chúng ta đoán rằng phương trình có nghiệm x = 2. Ta thấy phương trình có nhân tử (x – 2), nhưng khó phân tích được biểu thức chứa căn thành nhân tử. Vì vậy, chúng ta sẽ chuyển về dạng đa thức và phân tích như sau:
Bất phương trình cuối cùng không thỏa mãn dấu đẳng thức, vì vậy phương trình đã cho chỉ có một nghiệm duy nhất là x = 2.
Ví dụ 2: Giải phương trình
Do đó, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 5.
Đôi khi, sau khi nhân chia liên hợp, việc chứng minh phương trình còn lại vô nghiệm có thể khá khó khăn. Hãy xem ví dụ dưới đây:
Ví dụ 7: Giải phương trình
Hướng dẫn: Khi điều kiện x ≥ 1, bất phương trình đã cho được biến đổi thành:
Phương trình cuối cùng không có giá trị trùng khớp, do đó phương trình (*) vô nghiệm.
Vậy là chúng ta đã tìm hiểu về phương pháp nhân liên hợp để giải phương trình và bất phương trình chứa căn. Đối với các bài tập tương tự, chúng ta có thể áp dụng phương pháp nhân chia với biểu thức liên hợp để giải quyết.
